Approximants de Padé by Jacek Gilewicz (auth.)

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0 . 15) on a ( ( - a ) ~ ) k . & = OLk_~ - ~ C t k . l>tO n'est possible que si pour (~-Z (~k-~=O pour tout ~ , ce qui En r6p#tant ce raisonnement e t c . , on obtient : ( ~ k . 1 : c l k . ~ : . , : ~ 4 : C ) compl~te la d~monstration. Si k=O ce qui ( c ' e s t - ~ - d i r e c:=cp ), alors toute la suite est constante. D. Soient ~: ~{~) une fonction analytique au voisinage de ~ : 0 et C : C { ~ ) : ~ ~ sa s6rie de Taylor telle que la suite des coefficients { a ~ converge vers C E ~ .

C'est pourquoi la signification du crochet < r)a/~/ sera d~sormais ~tendue a l'int~grale de Stieltjes-Lebesgue salon la mesure ~. ~ leur appartiennent respectivement. ~. ,co Le th~or~me suivant, ~galement d6 ~ Riesz ~ 4 ] , permet d'assurer l'existence d'une solution au probl~me des moments (cf. ) Soient B un espace de Banach, B~ son dual, Soient une suite r~elle {C~l , une suite de f o n c t i o n s ~ F ~ l ( ~ e B ) e t un r~el A strictement positif. Pour q u ' i l existe un ~lSment d/~ de B~ tions : II a/ ll' satisfaisant aux condi- A (8) il faut et il s u f f i t que pout toute suite r6elle finie { ~ t 0 ~ [=0 on a i t : "= Dans le cas oQ B: C ° ~ L a } ] o ] , , alors B': C °j peut 6tre repr~sent~ ~ 1'aide de ~ o comme nous venons de le voir.

Le lecteur averti peut ~tre ~tonn~ que nous ne citons pas la d~monstration de Choquet, qui en passant par le th~or~me de Krein-Milman 6 t a b l i t ~galement le th~or~me 7 sur la representation int ~ g r a le ~es fonctions totalement monotones. Toutefois notre point de d~part est le m~me : nous montrons que les ensembles des suites et fonctions totalement monotones sont des c6nes convexes, point,s et s a i l l a n t s dens des espaces appropri~s. Toutes le propri~t6s classiques s'obtiennent facilement, comme propri6t6s de ces c6nes et en p a r t i c u l i e r , intrins6quement, on retrouve les r~sultats de Choquet dans notre paragraphe 5.

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