Algebra II by Heinz-Georg Quebbemann

By Heinz-Georg Quebbemann

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N. Ist nun h ∈ K0 [u1 , . . , un ] im Kern von ψ, also h(−s1 , s2 , . . , (−1)n sn ) = 0, dann folgt mit der Substitution ti → λi (i = 1, . . , n) sofort h = h(u1 , . . , un ) = 0. Die jetzt beantworteten Fragen waren so gestellt, dass ich sie leicht beantworten konnte. Anders ist das bei der folgenden Frage: • Welche endlichen Gruppen treten f¨ ur einen gegebenen K¨orper K und Galoiserweiterungen K ⊂ L als Galoisgruppen auf? ) Im Fall eines endlichen K¨orpers K f¨allt die Antwort allerdings wieder leicht; sie kommt noch in diesem Kapitel.

N ), i = 1, . . , n. Ist nun h ∈ K0 [u1 , . . , un ] im Kern von ψ, also h(−s1 , s2 , . . , (−1)n sn ) = 0, dann folgt mit der Substitution ti → λi (i = 1, . . , n) sofort h = h(u1 , . . , un ) = 0. Die jetzt beantworteten Fragen waren so gestellt, dass ich sie leicht beantworten konnte. Anders ist das bei der folgenden Frage: • Welche endlichen Gruppen treten f¨ ur einen gegebenen K¨orper K und Galoiserweiterungen K ⊂ L als Galoisgruppen auf? ) Im Fall eines endlichen K¨orpers K f¨allt die Antwort allerdings wieder leicht; sie kommt noch in diesem Kapitel.

Notation: Fq bezeichnet jeden solchen K¨orper. Bemerkungen. 1) F¨ ur eine Potenz q = pe mit e > 1 ist der Ring Z/qZ bekanntlich kein K¨orper, in diesem Fall ist also Fq nicht Z/qZ. 7 folgt: F¨ ur jedes e ∈ Z>0 existieren irreduzible Polynome vom Grad e u ¨ber Fp . Mit q = pe , F∗q = < α >, also Fq = Fp (α), ist n¨amlich das Minimalpolynom gα ∈ Fp [t] ein solches Polynom. 3) Es liegt nahe, Fq mit Hilfe eines irreduziblen g ∈ Fp [t] als Restklassenk¨orper Fp [t]/gFp [t] zu konstruieren. A. viele Wahlm¨oglichkeiten f¨ ur g hat (aber bei festem Grad immer der ”gleiche” K¨orper herauskommt).

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